W ΔABC... R.W.16l: W ΔABC mamy dane |BC| = a, |AC| = b. Wyznacz długość boku AB wiedząc, że środkowe poprowadzone do boków BC i AC są do siebie prostopadła. Myślę nad tym, myślę i nie mogę nic wykombinować Pomocy :<

Godzio: środkowe dzielą się w stosunku 2:1

	1
4x2 +y2 =		a2
	4

	1
x2 + 4y2 =		b2
	4

4y² + 4x² = c²

	1
x2+y2 =		c2 takie mamy równania, i mamy obliczyć c
	4

	1		1
4x2 +y2 =		a2 => 4x2=		a2−y2
	4		4

	1		1
x2 + 4y2 =		b2 => 4y2=		b2−x2
	4		4

podstawiamy do 4y² + 4x² = c²

1		1
	a2−y2 +		b2−x2 =c2
4		4

1		1
	a2 −(y2 + x2) +		b2 =c2
4		4

1		1		1
	a2 −		c2 +		b2 = c2 /*4
4		4		4

a² − c² +b² = 4c² a²+b²=5c²

	√a2+b2*√5		√5a2+5b2
c=		=
	5		5

o taki wynik chodziło ?

R.W.16l:

	a2+b2
wynik w odpowiedziach jest bardzo zbliżony √
	5

teraz trzeba znaleźć błąd

R.W.16l: ale tu sobie już poradzę dziękuję bardzo!

Godzio: jest dobrze ja poprostu usunąłem niewymierność

	√a2+b2
c=		po usunięciu niewymierności otrzymasz to co napisałęm
	√5

Mateusz: a czy czasem środkowe nie dzielą się w stosunku 1:3

R.W.16l: nieee, bo wynik jest inny wtedy winno być chyba tak

	a2+b2
c2=p{
	5

	a2+b2
c=√
	5

czyli nie tak nie ma potrzeby usuwania niewymiernosci pamiętaj!

√a		a
	= √
√b		b

R.W.16l: nie Mateusz 1:2 od środka

R.W.16l: czy, jeśli czujecie się dobrze w tym temacie, mogę dać jeszcze 4 zadania? <shy> to są te z gwiazdką...

Godzio: tak

Godzio: R.W. 16l

	a2+b2
to: √		, nie wiedziałem czy to bedzie widoczne ze cale wyrazenie jest pod
	5

pierwiastkiem.

	a2+b2		√a2+b2
√		=
	5		√5

R.W.16l: ok, to daję 1. (4.133) W Δ równobocznym ABC poprowadzono wysokość BD i na przedłużeniu wysokości odłożono punkt K, tak że |BK| = |AC|. Punkt K połączono z punktami A i C. Oblicz |kąt AKC|. Rozważ dwa przypadki. (Podp. 1. przyp., gdzie przedłużamy od pkt B, 2. − od pkt D ) 2. (n) W Δ ABC przedłużono bok AB poza wierzchołek B i odłożono odcinek BD równy odcinkowi BC.

	|kąt CBA|
Połączono punkty C i D. Wykaż, że |kąt CDA| =		.
	2

3. (n) O pewnym Δ wiadomo, że jego dwie środkowe zawierają się w symetralnych dwóch boków. Jaki to Δ? Odpowiedź uzasadnij. 4. (n i ostatnie) Wykaż, że jeżeli kąt przyległy do jednego z kątów trójkąta jest dwa razy większy od drugiego kąta tego trójkąta, to trójkąt jest równoramienny. Czy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne? POMÓŻ GODZIO w Tobie moja nadzieja

Mateusz: Ad 1 ABK jako trójkąt równoramienny ma kąty przy podstawie równe.

1		a√3
	a2 + (		+ a)2 = x2 =>
2		2

x² = a²(2 + √3) a² = 2x²−2x² => cosk a² = 4a² + 2√3−(4a² +2√3)

	3+2√3
cosk =
	4+2√3

Mateusz: AD 2 kąt CBD = 180^o − β => znana zaleznosc

	β−180o		kąt CBA
kąt BDC = BCD =		=> kąt CDA =
	2		2

Godzio: γ=180−2α = 180−β 180−2α = 180−β 2α=β

Godzio: x²+a² = 4y² y²+b² =4x² c² =9y²+b² a² +9x² = c² takie są równania podstawimy tak: =>a² +9x² = c² => c² =9y² +b² a²+9x² = 9y² + b² teraz podstawimy to: x²+a² = 4y² => a² = 4y² −x² 4y² − x² +9x² =9y² +b² i teraz y²+b² =4x² => b² = 4x²−y² 4y² − x² +9x² =9y² +4x²−y² 8x² +4y² = 8y² +4x² 4x² = 4y² x=y skoro to już wiemy to podstawiam za x, y x²+a² = 4y² i y²+b² =4x² x²+a² = 4x² x² +b² = 4x² a² = 3x² b²=3x² => a=b teraz wiemy że jest to trójkąt równoramienny a teraz sprawdze czy jest to trójkąt równoboczny wykorzystam tu to : a² = 3x² => a=√3x cały bok to 2a więc bok to 2√3x a² +9x² = c² a² +9x² =c² 3x²+9x² = c² 12x²=c² 2√3 x = c i na tym się kończy to jest trójkąt równoboczny

Godzio: 180=α+β+γ 180=2α+γ α+β+γ=2α+γ β=α pierwszą część masz Wykaż, że jeżeli trójkąt jest równoramienny to kąt przyległy do jednego z kątów trójkąta jest dwa razy większy od drugiego 180=2α+β 180−α=γ γ=α+β α+β=180−α 2α+β=180 Odp twierdzenie jest prawdziwe

R.W.16l: W pierwszym nie o to chodziło zupełnie mój rysunek jest taki k1 to jedna możłiwosc, k2 to druga... i proszę bez funkcji trygonometrycznym! a jeśli chodzi o 4., to w odpowiedziach piszą, że nie jest prawdziwe odwrotne do reszty nie mam odpowiedzi... proszę o poprawki w 1. i 4. (wybaczcie, że Was męczę Godzio i Mateusz) wierzę, ze 2. i 3. są dobrze DZIĘKUJĘ WAM

R.W.16l: to jak?

Godzio: już robie

Godzio: najpierw moje poprawie: nie wiem kompletnie jak ja to zrobiłem jak to nawet wykazane nie jest założenie : y=2β γ+α=180 => α=180−γ γ=α+β γ=180−γ +β 2γ=180+β

	1
γ=90 +		β
	2

żeby założenie było spełnione to

3
	β=90 czyli trójkąt musiałby być równoboczny, ale że jest równoramienny to się nie zgadza
2

Godzio: 2γ+α=180 trójkąt EBC jest równoramienny 180 −30 =150 150:2=75 czyli : γ+60=75 => γ=15 2γ+α=180 α=150 zaraz 2 przypadek zrobie

Godzio: napisałem E i F bo żeby rozróżnić 2 później sobie to jakoś tam zapiszesz

Godzio: napisałem E i F bo żeby rozróżnić 2 później sobie to jakoś tam zapiszesz

Godzio: 90+60+β=180 β=30

R.W.16l: prosiłbym o ponowne zrobienie zadania 2. bo piszę to co napsał mateusz i wychodzi mi, że

	180−B
Kąt BDC = Kąt BCD −
	2

	180−B		B
A że kąt BDC = kąt CDA =		co się nie równa
	2		2

JAK? dzięki Godzio Jesteś mistrzem Oczywiście, nie o było by się bez pomocy Mateusza Dziękuję Wam obu

R.W.16l:

	B−180
tzn., napisał		czego nie kumam zupełnie, bo wtedy wyjdzie liczba raczej ujemna,
	2

czyli chyba pomylił Mateusz kolejność... ehhh

R.W.16l: a nieee, już widzę dobrze Już nić DZIĘKI! liczę Godzio na pomoc w przyszłych zadaniach